Une histoire de l'imaginaire mathématique. Volume I

L'histoire est un choix et non une nécessité. Au contraire de la mathématique
enseignée qui, par souci d'économie et d'efficacité pédagogique, se présente
comme une pensée presque toujours unique. Nous choisissons le théorème
fondamental de l'algèbre, juste avant qu'il porte un tel nom. On l'énonce
aujourd'hui sous une forme minimale : un polynème non réduit à une constante
et à coefficients réels possède au moins une racine de forme complexe. Pour
rester dans un cadre élémentaire, ce premier volume s'arrête juste avant la
première preuve de Gauss, et bien sûr avant l'intervention de Galois. La
simplicité de l'énoncé du théorème fondamental de l'algèbre n'est contaminée
par aucune écriture symbolique absconse. Polynèmes, constantes, coefficients,
racines, nombres complexes, nullité d'une expression algébrique, ces quelques
mots disent le contexte du théorème. Parlons d'une banalisation d'une forme
polynomiale : ce théorème est devenu sens commun, celui de l'algébre
élémentaire, voire aussi de l'algébre commutative. L'histoire est celle de la
notion d'imaginaire inventée par Descartes jusqu'à sa réduction à un nombre
complexe. Mais l'adjectif « complexe » qualifie la nature du nombre, et non un
type de raisonnement. Car le théorème et ses preuves font comprendre ce qui
est simple, et la complexité réfère seulement à la présence de deux unités de
mesure, au lieu d'une seule, comme lorsque l'on écrivait autrefois une
longueur en 2 pieds 3 pouces. Sous le prétexte qu'il s'agit aussi d'une
histoire érudite et que plus de cent cinquante années s'écoulèrent entre une
affirmation de Descartes en 1637 et la dernière démonstration envisagée qui
est celle de Laplace en 1795, notre rôle ne doit surtout pas être de
surcharger de difficultés, même en prenant en compte les diverses tentatives
d'enseignement des mathématiques à cette période, les difficultés non résolues
d'Euler et de Lagrange, et l'avancée de Jean d'Alembert. La simplicité
recouvre bien des débats, sur le rôle du signe et de sa mise en oeuvre dans la
pensée en général et il n'est pas banal de voir ainsi hésiter de grands
mathématiciens sur ce qui est devenu simple, mais on apprend beaucoup sur ce
que c'est que penser en mathématiques.